ルール
１　いちばん上のだんの○に数を入れます。
２　１つ下のだんの○には、上のだんの２つの数のちがいをかきます。
３　１から１５までの数を１つずつ入れます。

答え

ルール
１　いちばん上のだんの○に数を入れます。
２　１つ下のだんの○には、上のだんの２つの数のちがいをかきます。
３　１から１０までの数を１つずつ入れます。

答え

ルール
１　いちばん上のだんの○に数を入れます。
２　１つ下のだんの○には、上のだんの２つの数のちがいをかきます。
３　１から６までの数を１つずつ入れます。

答え

ルール
*　正しいひき算のひっ算を、はさみで切って、ブロックに分けました。
*　ブロックをすべて使って、もとの正しいひっ算になるようにします。

答え

問題１
次のルールで、次々と計算していったとき、新しい数が出てこなくなるまでの回数がいちばん多くなるのは何回でしょう。
また、その回数になる数は何個あるでしょう。

ルール
１）　０から９までの数字を１つずつ書いたカードがたくさんあります。
２）　カードを３まいえらび、えらんだ３まいのカードで作れる「いちばん大きい数」と「いちばん小さい数」とのちがいを計算します。
３）　計算した答えについても、同じように計算していきます。
４）　新しい数が出てこなくなるまでの回数を調べます。

たとえば、１，２，９の３まいをえらぶと、
いちばん大きい数は９２１。いちばん小さい数は１２９です。
そのちがいは、９２１－１２９＝７９２となります。
７９２についても同じように計算すると、
９７２－２７９＝６９３。
つづけると、
９６３－３６９＝５９４。
９５４－４５９＝４９５。
つまり、１２９→７９２→６９３→５９４→４９５と、４回

問題２
問題１と同じルールで、４けたの数について考えましょう。

問題１　解答
６回　２０個

問題１　解説
３まいの数字カードを、a,b,c (a>b>c) とすると、
いちばん大きい３けたの数は、100a+10b+c
いちばん小さい３けたの数は、a+10b+100c と表せます。
そして、２つの数の差は、99(a-c) となります。
a-c として考えられるのは、０から９までの１０通りです。
それぞれの場合で、例をとって調べてみます。

*差が０の場合の例：１１１
111-111=0

*差が１の場合の例：２１１
211-112= 99
990- 99=891
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495 （６回）

*差が２の場合の例：３１１
311-113=198
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495 （５回）

*差が３の場合の例：４１１
411-114=297
972-279=693
963-369=594
954-459=495 （４回）

*差が４の場合の例：５１１
511-115=396
963-369=594
954-459=495 （３回）

*差が５の場合の例：６１１
611-116=495 （１回）

*差が６の場合の例：７１１
711-117=594
954-459=495 （２回）

*差が７の場合の例：８１１
811-118=693
963-369=594
954-459=495 （３回）

*差が８の場合の例：９１１
911-119=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495 （４回）

*差が９の場合の例：９１０
910- 19=891
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495 （５回）

問題２　解答
１３回

問題２　解説

４まいの数字カードを、a,b,c,d (a>b>c>d) とすると、
いちばん大きい４けたの数は、1000a+100b+10c+d
いちばん小さい４けたの数は、a+10b+100c+1000d と表せます。
そして、２つの数の差は、999(a-d)+90(b-c) となります。
a-d>b-cなので、考えられる差の組み合わせは次のようになります。
(a-d,b-c)=
(9,9)(9,8)(9,7)(9,6)(9,5)(9,4)(9,3)(9,2)(9,1)(9,0)
(8,8)(8,7)(8,6)(8,5)(8,4)(8,3)(8,2)(8,1)(8,0)
(7,7)(7,6)(7,5)(7,4)(7,3)(7,2)(7,1)(7,0)
(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(6,0)
(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(5,0)
(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(4,0)
(3,3)(3,2)(3,1)(3,0)
(2,2)(2,1)(2,0)
(1,1)(1,0)
(0,0)

それぞれの場合で、6174になるまでの回数を調べた結果です。

(9,9)(9,8)(9,7)(9,6)(9,5)(9,4)(9,3)(9,2)(9,1)(9,0)
４　 ３　 ３　 ７　 ７　 ７　 ３　 ３　 ４ 　４

(8,8)(8,7)(8,6)(8,5)(8,4)(8,3)(8,2)(8,1)(8,0)
12　 ５　 ２　 ７　 ２　 ５　 12　 ３　 ６

(7,7)(7,6)(7,5)(7,4)(7,3)(7,2)(7,1)(7,0)
12　 ３　 11　 ３　 12　 ５　３　 10

(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(6,0)
４　 ５　 ４　 ３　 １　 13　６

(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(5,0)
５　 ５　 11　 ７　 ７　 ６

(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(4,0)
４　 ３　 ２　 13　 10

(3,3)(3,2)(3,1)(3,0)
12　 ５　 ３　 ６

(2,2)(2,1)(2,0)
12　 ３　 ４

(1,1)(1,0)
４　 ×

(0,0)
×

１３回（最多）になる数の一例

6650- 566=6084…１回目
8640- 468=8172…２回目
8721-1278=7443…３回目
7443-3447=3996…４回目
9963-3699=6264…５回目
6642-2466=4136…６回目
6431-1346=5085…７回目
8550- 558=7992…８回目
9972-2799=7173…９回目
7731-1377=6354…10回目
6543-3456=3087…11回目
8730- 378=8352…12回目
8532-2358=6174…13回目

4430- 344=4086…１回目
8640- 468=8172…２回目
8721-1278=7443…３回目
7443-3447=3996…４回目
9963-3699=6264…５回目
6642-2466=4136…６回目
6431-1346=5085…７回目
8550- 558=7992…８回目
9972-2799=7173…９回目
7731-1377=6354…10回目
6543-3456=3087…11回目
8730- 378=8352…12回目
8532-2358=6174…13回目