ふしぎなひき算

問題1
次のルールで、次々と計算していったとき、新しい数が出てこなくなるまでの回数がいちばん多くなるのは何回でしょう。
また、その回数になる数は何個あるでしょう。

ルール
1) 0から9までの数字を1つずつ書いたカードがたくさんあります。
2) カードを3まいえらび、えらんだ3まいのカードで作れる「いちばん大きい数」と「いちばん小さい数」とのちがいを計算します。
3) 計算した答えについても、同じように計算していきます。
4) 新しい数が出てこなくなるまでの回数を調べます。

たとえば、1,2,9の3まいをえらぶと、
いちばん大きい数は921。いちばん小さい数は129です。
そのちがいは、921-129=792となります。
792についても同じように計算すると、
972-279=693。
つづけると、
963-369=594。
954-459=495。
つまり、129→792→693→594→495と、4回

問題2
問題1と同じルールで、4けたの数について考えましょう。

問題1 解答
6回 20個

問題1 解説
3まいの数字カードを、a,b,c (a>b>c) とすると、
いちばん大きい3けたの数は、100a+10b+c
いちばん小さい3けたの数は、a+10b+100c と表せます。
そして、2つの数の差は、99(a-c) となります。
a-c として考えられるのは、0から9までの10通りです。
それぞれの場合で、例をとって調べてみます。

*差が0の場合の例:111
111-111=0

*差が1の場合の例:211
211-112= 99
990- 99=891
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495 (6回)

*差が2の場合の例:311
311-113=198
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495 (5回)

*差が3の場合の例:411
411-114=297
972-279=693
963-369=594
954-459=495 (4回)

*差が4の場合の例:511
511-115=396
963-369=594
954-459=495 (3回)

*差が5の場合の例:611
611-116=495 (1回)

*差が6の場合の例:711
711-117=594
954-459=495 (2回)

*差が7の場合の例:811
811-118=693
963-369=594
954-459=495 (3回)

*差が8の場合の例:911
911-119=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495 (4回)

*差が9の場合の例:910
910- 19=891
981-189=792
972-279=693
963-369=594
954-459=495 (5回)

問題2 解答
13回

問題2 解説

4まいの数字カードを、a,b,c,d (a>b>c>d) とすると、
いちばん大きい4けたの数は、1000a+100b+10c+d
いちばん小さい4けたの数は、a+10b+100c+1000d と表せます。
そして、2つの数の差は、999(a-d)+90(b-c) となります。
a-d>b-cなので、考えられる差の組み合わせは次のようになります。
(a-d,b-c)=
(9,9)(9,8)(9,7)(9,6)(9,5)(9,4)(9,3)(9,2)(9,1)(9,0)
(8,8)(8,7)(8,6)(8,5)(8,4)(8,3)(8,2)(8,1)(8,0)
(7,7)(7,6)(7,5)(7,4)(7,3)(7,2)(7,1)(7,0)
(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(6,0)
(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(5,0)
(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(4,0)
(3,3)(3,2)(3,1)(3,0)
(2,2)(2,1)(2,0)
(1,1)(1,0)
(0,0)

それぞれの場合で、6174になるまでの回数を調べた結果です。

(9,9)(9,8)(9,7)(9,6)(9,5)(9,4)(9,3)(9,2)(9,1)(9,0)
4  3  3  7  7  7  3  3  4  4

(8,8)(8,7)(8,6)(8,5)(8,4)(8,3)(8,2)(8,1)(8,0)
12  5  2  7  2  5  12  3  6

(7,7)(7,6)(7,5)(7,4)(7,3)(7,2)(7,1)(7,0)
12  3  11  3  12  5 3  10

(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)(6,0)
4  5  4  3  1  13 6

(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)(5,0)
5  5  11  7  7  6

(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)(4,0)
4  3  2  13  10

(3,3)(3,2)(3,1)(3,0)
12  5  3  6

(2,2)(2,1)(2,0)
12  3  4

(1,1)(1,0)
4  ×

(0,0)
×

13回(最多)になる数の一例

6650- 566=6084…1回目
8640- 468=8172…2回目
8721-1278=7443…3回目
7443-3447=3996…4回目
9963-3699=6264…5回目
6642-2466=4136…6回目
6431-1346=5085…7回目
8550- 558=7992…8回目
9972-2799=7173…9回目
7731-1377=6354…10回目
6543-3456=3087…11回目
8730- 378=8352…12回目
8532-2358=6174…13回目

4430- 344=4086…1回目
8640- 468=8172…2回目
8721-1278=7443…3回目
7443-3447=3996…4回目
9963-3699=6264…5回目
6642-2466=4136…6回目
6431-1346=5085…7回目
8550- 558=7992…8回目
9972-2799=7173…9回目
7731-1377=6354…10回目
6543-3456=3087…11回目
8730- 378=8352…12回目
8532-2358=6174…13回目

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